数学是人类智慧与自然世界的耦合

江苏经济网 2019-05-14

数学是人类智慧与自然世界的耦合

诺贝尔物理学奖获得者维格纳曾经感叹“数学在自然科学中不可思议的有效性”,确实数学之于自然科学,常常给人神启的感觉。

数学,深奥且高冷,对于任何人都绝非易事。古希腊时期就有人研究圆锥曲线,后来阿波罗尼奥斯完成《圆锥曲线学》这部著作,进行系统总结。圆锥曲线在长期的历史过程中,只是作为一种抽象的图形被研究,并没有什么实际用处。直到开普勒在大量分析第谷的行星运行观测数据后,发现行星的运行轨道并不是千百年来人们所认为的完美圆形,而且圆锥曲线的一种——椭圆。这个时间跨度达到了千年以上,似乎古希腊的数学家早就想到了千余年后的开普勒要用到,早早地为他做好准备,否则他不但要是个优秀的天文学家还得成为优秀的数学家……

说到数学,我们通常会把1+1=2看作是最简单、最基础的数学,或者说用这个等式来代表数学。于是也产生了一个似乎非常无聊的问题:为什么1+1会等于2?这好像是简单到无需回答又深邃到无法回答。其实1+1也许完全可以不等于2,而等于比如3,只要3不等于1+1+1就行(这样自洽的要求就维系住了)。如此看来,从所谓自然数的意义上来说,2只是1+1的结果的一个符号而已。或许,我们应该将注意力放到等式的左半边,即为什么会有1+1?在1+1中,我们有一个1和另一个1(显然在这里,我刻意地回避“两个1”这样的说法,但这种回避是否实质性地有效?),这不同的1之间是什么关系?似乎不言而喻,1与1是全等的。那么接下来可能要问:1从何来?

这似乎又是不言而喻,比如一个苹果(来自于人的观察、感知)。有了一个苹果,又有了一个苹果,那么我们就说有了两个苹果,加法关系好像顺理成章地有效。我们常说,没有任意两个指纹是一样的,没有任意两个雪花是一样的,自然也没有一模一样的两个苹果(大小、品种、成熟度等等)。赫拉克利特说“人不能两次踏入同一条河流”,而我们却能拥有两个苹果,为什么?因为答案取决于看待事物的方式。数的概念是人从自然感观中抽象而来,于是才有全等的一个1和另一个1,这种抽象是以舍弃掉很多具体事物的具体特征差别为前提,或者说,数学的精确是以很多其他方面的不精确换来的,数学是为了满足认知的特定需求而产生,也许,数学的真理性正是来自于它的非现实性。如此看来,我们通常所谓的、最基本的数的概念——自然数——其实也并不那么自然。世上本没有路,世上也本没有数。

而自然数这个概念里还有个更加不自然的内容,就是自然数是否包括“零”,这一点数学界并没有达成完全的共识。貌似很显然,“零”表示没有,但其实情况远不是这么简单:是“有”建立在“没有”的基础上,还是“没有”建立在“有”的基础上?比如:两百年前,不会有人说他没有汽车;一百年前,不会有人说他没有手机。因为在特定的时代,汽车、手机这些事物还没诞生。“0”在现实意义上甚至有点不像个数字,也可以说它是个常常不在场的数字,甚至不比负数有价值。所以,零是没有,而没有是不是零呢?或者说,有了才会有“没有”,而没有则没有“没有”。可以说,是有了数的概念,才有了“零”的概念,所以对于“0”才会纠结。

再说说那个完美图形——圆形。圆是个封闭图形,它上面的每个点与圆圈内一个特殊的点(圆心)距离全等,这个距离就是圆的半径;而继续将思维从两维扩展至三维,可以得到圆球的概念。生活中有大量事物我们会认为是圆形和圆球,圆盘、轮子、西瓜、地球等等。但完满的圆的概念只存在于人的理念中,而世上并没有完全一丝不差符合圆的定义的物体。人们无法造出能经受任意精度测量的、绝对圆的轮子;而不论地球、月亮、太阳都不是完全的圆形(虽然肉眼不易察觉),这并不是出于星球表面的不平整,而是因为自转而引起的本质意义上的不圆,简单讲就是自转而产生的惯性把与自转轴垂直的赤道部位抛出去一些,使得星球成为两极略短、赤道略微鼓起的扁球形。而宇宙中的天体又有哪个不是在运动中?运动是宇宙的本质属性。至于顶替了圆形的行星椭圆形轨道也是一样,椭圆只是轨道的大致样貌,在非常精细的尺度上则并非如此。(《中国大百科全书•天文学》里有个条目“水星近日点进动问题”,有兴趣可以查阅,在此不展开了。)

因此,数学是从自然中抽象而来,而当数学应用于认知自然时,又会舍弃一定的精准性。可以说,数学的产生是人对自然的拟合,数学的应用又是把预设的数学结果拟合于自然,数学的绝对严密只存在于人脑的思维逻辑中。

几何学诞生于古希腊,就是通常所说的欧几里得几何,直到今天都是最实用、最符合日常环境的描述方式,但是延续千年的欧氏几何,越来越引起质疑,焦点就是所谓的第五(平行)公设(通常表述为:过直线外一点,有且只有一条直线与之平行),这条很有点道理的规定却无法用其它更简要的道理给予证明。于是让人不由得会想,是不是可以把其他同样无法证明对错的道理作为前提规定?就这样,很多人(高斯、罗巴切夫斯基、黎曼以及更多的人)通过看上去稀奇古怪的(至少是不符合经验直观的)初始定义,顺着逻辑进行推演,创造出了一个个光怪陆离的几何理论体系,所有这些理论的总称叫做非欧几何:不是欧几里得几何的几何。很长时期,这些理论都是作为数学家的思想游戏而存在,没人知道有什么用,当然,也无关痛痒,只当是想着玩。直到爱因斯坦在构思广义相对论时,发现没有合适的数学语言,这时有人介绍了黎曼几何,于是非欧几何第一次找到了用武之地。庞加莱说过一句平凡得不像至理名言的至理名言:“没有最真实的几何,只有最好用的几何。”之所以没有最真实的,根本上是由于世界太大、宇宙太大,小小星球上的人类很难参透整个宇宙,得到的只能是非常小的局部的结论。

非欧几何的诞生和成功应用,影响深远,可以说改变了人类对自身智慧的态度。过去人们自信地认为,凭我们的智慧可以悟出真理,揭示宇宙最深刻的奥秘,衡量一个理论的标准很简单——正确或者错误,非黑即白。慢慢地,人们认识到智慧与自然的复杂关系,于是对理论的要求改变了,一个合格的理论首先甚至只需要做到自洽就可以了,也就是理论只要自身内部不发生逻辑矛盾,那么就有其价值,即便是尚无法验证的假说。高斯经过研究形成一套“新几何”时,自己也觉得太天马行空、离经叛道,不敢公之于众,今人的研究环境宽松得多。

数学是人类智慧与自然世界的耦合,并不神秘,更不是神仙启示。数学是人类通过思辨而产生的思维成果,是人类认知世界的预案和模板,是通过确立一定的初始设定,经由逻辑推理而产生的认知体系。有个至今困扰人们的问题:数学是否是先验的?数学的抽象而精准的特性似乎暗示着先验的性质,而非欧几何的诞生部分解决了这个问题,即思维的前提几乎可以是任意的设定,而并不影响最终结果的合理、有效和实用性。直线、平面、平行线这种好像不证自明的概念都可以弃置,而以貌似与日常经验不符的条件构建起全新的几何。现在我们认识到,是因为生活在地球这个相对人的个体足够巨大的环境,是看上去似乎平直的地平线、似乎平坦的大地所带来的暗示,才让人类有了这些所谓“不证自明”的概念(世上并没有真正的直线和平面,它们都只是人的假设、构想),原先认为是先验的却恰恰是经验的,而又恰恰是对“不证”进行求证的过程中诞生了全新的几何。但认识到前提问题,整个先验性问题并没有彻底解决,因为逻辑(即数学推理的过程步骤)又是什么呢?一方面关于思维的本质特性我们还认知太少,在天文学上人类的视野已经拓展到遥远的距离以外,而脑科学对我们自己的思维却了解得非常之少,对于思想、思维、逻辑等等的本质无法完全的解释。比如逻辑,如果它是只是固化在大脑中的思维通路,那么它也许可以被看作一种生理现象;但最终的答案恐怕会复杂得多。另一方面,人类是在用自己的思维洞察、破解自己的思维,是不是有点“只缘身在此山中”?

在我们看来,智慧是人类的专属,人类自封了“智慧”的称号。但我们真的理解得足够透彻么?人会建造房屋,当然是因为我们有智慧;那么蜜蜂呢?蜜蜂会建造蜂巢,并且还用到了数学上非常合理的六边形结构,蜜蜂是不是也有智慧?我们不把这视为智慧,只认为是生物的本能。常常听到人们夸讲动物比如小猫、小狗:真聪明。这一句“真聪明”充分显示了我们认为其他动物没有智慧这一认识前提。毋庸置疑,人是最聪明的、智能最高的生物,但因此我们就可以把其他都打入另册?是否可以用更加宽泛的视野看待智慧,比如把智慧看作连续存在的场,就像引力场。引力场是物体对周边时空的扭曲,效果强度随着距离的增加以平方反比递减,直至很远甚至无穷远;而智慧、智能也是从简单到复杂的连续分布,从低端到高端生物逐渐增长,到了人类有一个极大的飞跃。可能有人会觉得这种看法不可思议、难以接受,可是不管怎样,这种异样的感受肯定不比进化论产生时更加强烈。既然人都是低端生物进化来的,智慧为何不能同样视为一个进化的过程?如果智慧只体现为自夸的能力,不会自夸、埋头修建蜂巢的蜜蜂肯定表示不服。

不能彻底理解思维,自然也就无法述说数学的本质。或许人类作为宇宙的一部分,宇宙的某些本质特性已经内化在我们人体里、头脑里、逻辑规则里,数学就是体现的方式之一。这样的讲法看起来有点像柏拉图所说的投射,其实不然。柏拉图认为现实世界是虚妄的,在现实世界之上存在着理想的理性世界,那个世界才是真正真实的。而当前,人们普遍认为客观世界就是真实的,没有更高的世界了,而人的主观世界则相对具有虚拟性质。而且即便真的有这种我们现在仍然无法认识和解释的投射和内化,也并不导致神秘主义,因为科学的认知原则是,对于尚无法解决的问题,也保持客观的态度,而不是归因于神秘。

数学中有很多奥秘,而且数学本身就是奥秘(奥秘而不神秘),我们永远在认知之路上。

数学是人类智慧与自然世界的耦合